考慮這樣一個現實的問題:

碧藍檔案的總力戰中，每個人每天有3次機會打總力戰，而將每個人打出的分數(最高分)進行排序，前15000名可以獲得最多的獎勵. 第15000名的分數被稱為一檔線. 那么如何建模才可以在一定程度上給出一檔線隨時間變化這一過程.

由于隨機過程如果考慮最最完善的情況的話，就會出現一個過程套另一個過程套另一個過程這樣套娃的情況，導致只能依賴數據進行數值計算，與此文章的目的相悖.

(資料圖)

故本文章考慮這樣一個理想的模型:

首先，要求不論什么時間(包括上班時間睡眠時間)，都有穩定的玩家數量，一個人不打總力戰就得有另一個人去打總力戰，這樣就可以認為打總力戰是一個泊松過程，而且保證了泊松過程的強度恒定. 其次假定各位玩家的實力相當，且都打ins難度，這就意味著不同的人打完時，產生的分數獨立且同分布.?第三是每人只打一次，這個假定意味著玩家不能覆蓋自己的歷史最高分.

現在開始分析:?

首先，沒有足夠的證據證明成績近似服從正態分布，所以在分析中我們考慮最一般的情況，設各位參與者的成績服從分布的概率密度是??，而分布函數是 . 然后設分數線為第??個人的成績.?

由模型的假設，得到的分數的個數服從泊松分布??

當? 時，有以下條件概率密度

這個就是引用了n-m+1次序統計量的概率密度函數

此時算出條件分布函數為

而當? 時，由于沒有足夠的樣本，故可以認為m次序統計量為任意比可能的最低分還要小的數，因此

而根據全概率公式

得到第??大的分數的分布函數，并且求導還可以得到概率密度

這便是分數線服從的分布函數，其中參數??代表最多只能有多少人過線，參數? 是泊松分布的強度，參數? 是經過的時間. 雖然成績個數有幾率不足m個，使得P并非從0開始，但是隨著時間增長，分數個數不足m的概率快速趨于0，對于較大的??幾乎無影響.

此公式用于預測的示例:

一個比賽，每個人只能參加一次，并得到一個分數，每位選手得分服從期望和標準差都為10的正態分布，參加人數服從強度為10的泊松分布，只有前10名可以獲得獎品，預測時間為10時的分數線.

對其的預測可以用上述概率密度函數代入數值求期望來得到，通過mathematica進行數值積分得到期望約為23.02

而對其的檢驗試驗則可以通過生成偽隨機數來進行，方法如下:

(順帶一提，此種情況產生成績個數不足m的概率，數量級僅為10^(-32))

調用mathematica生成一個服從Poi(100)的隨機數n

調用mathematica生成n個服從的隨機數?

對??進行排序

輸出第10大的數

重復1-4步若干次，把輸出的數取平均值

這里進行了12次試驗，得到的數據如上，試驗樣本平均值為22.41，相較于預測值23.02，相對誤差2.6%

預測分數線關于參數的性質

上面已經介紹了對于各項參數都已經確定時，預測分數線的方法，但是我們有時也很關心分數線隨時間的變化情況.

用上述概率密度計算期望，并表示為??的函數

接下來我們來計算其一個特殊的漸近展開，即當成績服從正態分布時的漸近展開

簡單的變形得到

我們知道u趨于0時y趨于無窮，函數g的值主要由0附近的積分貢獻，所以考慮y在u=0附近的展開，由簡單的分部積分可以得到?

其中W是Lambert W 函數，因此?

代入積分得到?

這個積分的漸近展開我在此直接給出(或許未來的某天我會把證明發出來)

這便是在成績服從正態分布這一情況下，預測分數線的函數在時間很大時的漸近展開.

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責任編輯：Rex_26